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Version 1.0.0 du 1/10/2006 Le Filtrage numérique
2.2 - Approximation par transformation bi-linéaire.
Si l’intervalle de temps t2-t1 est suffisamment petit, on peut approximer le calcul de la
primitive d’une courbe entre t1 et t2, à la surface du trapèze construit sur l’intervalle de
temps t2-t1, ce qui permet d’écrire :
V e

∫ Vt []()Vt +−
( ) .(t
Vt
t
)
().dt =
2121e
e
e
2
t
t 1 t 2

2.3 - Calcul des coefficients Ak et Bj du filtre récursif de Butterworth d’ordre 1.
Si l’on applique l’approximation par transformation bi-linéaire au signal échantillonné
Ve(nTe) avec t2=nTe et t1=(n-1)Te, soit (t2-t1)=Te, il vient :

1] ))T T
([n
( (VnT
([n
1] ))T T
( (V nT
VV−−= ) V+− − ) V+−
ee
ee e
ee se s
n
() ([1])nT
T
e
se s
2RC
Soit, en posant τ = RC :
⎡⎤ T
TT
T
([1])−
ee
e
() +=
e
T
1)() V n
([1])(1 V n
VnT ⎢⎥ V nT +−+− T e
ττ
τ
2τ
ee
se
e
e
s
⎢⎥ 2
⎣⎦
22
Donc :
TT (1− T
ee
e
)
τ
ττ
()+−+
([1])−
VnT = 22 2
T
T
e n
([1])
V
()
V
s n
V nT
se
ee
ee ⎡⎤
e
⎡⎤ ⎡⎤ e T
TT
+
++
e
⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥
1
11
τ
ττ
⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦
22 ⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
2
On en déduit, d’après l’expression (1), que :
T e
(2τ −
==
AA 2τ etB = e T )
⎡⎤
(2τ +
0 11
T
1+
e
⎢⎥ e T )
2τ
⎢⎥
⎣⎦
Les coefficients étant déterminés, il est maintenant possible de construire un algorithme
permettant de calculer la valeur de l’échantillon de sortie à l’instant nTe, en fonction des
deux échantillons d’entrée des instants nTe et (n-1)Te, et de l’échantillon de sortie
précédant à l’instant (n-1)Te.
III - Généralisation à un filtre RII d’ordre n.
3.1 - Transformée en z.
On pose p= jω et :
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