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Version 1.0.0 du 1/10/2006 Le Filtrage numérique

p = 21z− donc H ()p devient H ( )z
Te z + 1

Cette transformation des fonctions de transfert du plan complexe à des fonctions de z,
s’appelle la transformée en z.

3.2 - Application au filtre passe-bas de Butterworth d’ordre 1.
Si l’on remplace dans l’expression de la fonction de transfert du filtre passe-bas de
Butterworth d’ordre 1, RC par τ et p=jω par son expression en fonction de z, on obtient la
fonction de transfert en fonction de z, soit :
−
1(1)Tz+−
1
()=
==
Hz 21 (1)2(1)Tz++ T . 1z 2τ
ee
zT−−
τ−
T +
z
2τ −
1..τ++
1
e
ee
z
1
τ
Tz++
12T
ee
On remarque dans cette expression que les coefficients des puissances négatives de z du
numérateur et du dénominateur sont respectivement A0, A1 et B1 :
()=
01
Hz AAz+ − 1
1 Bz− 1 − 1
3.3 - Généralisation.
Pour calculer les coefficients Ak et Bj permettant de déterminer ensuite l’expression de
Vs(nTe), il suffit de calculer la transformée en z de la transmittance complexe du filtre et de
la mettre sous la forme :
−
123−−
... Az+
k
()=
Hz AAz Az Az++++ k −
2
3
01
−
−
12−
1 B z−−−−
j
... Bz
Bz
12
j
Les coefficients Ak et Bj étant alors tous connus, on peut construire l'algorithme du filtre.
3.4 - Méthodologie.
La mise au point d’un filtre numérique récursif RII, se fait donc selon la méthodologie
suivante :
1 - On détermine le gabarit exact du filtre analogique que l’on veut transformer en
filtre numérique,
2 - On calcule sa fonction de transfert dans le plan complexe H(jω), ou directement en
fonction du Laplacien p, si l’on sait calculer la transformée de Laplace d’une équation
différentielle.
3 - On transforme cette fonction de p en une fonction de z par équivalence bi-linéaire,
ce qui revient à poser p=2(z-1)/Te(z+1)
4 - On en déduit l’ordre m du filtre par la connaissance des coefficients Ak et Bj.
5 - On programme alors une boucle récurrente, pour n variant de 1 à l’infini telle que :
km= jp=
Vs nTe =−−−
⎡⎤
⎡⎤
∑∑
( )
j Te
..1( )
AVe n k Te
()
B Vs n
⎢⎥
⎢⎥
j
⎣⎦
⎣⎦
j=
k= 0 k ⎢⎥ ⎢⎥
1
Cette boucle de programme permet de calculer toutes les valeurs des échantillons nTe
de la grandeur de sortie.
6 - On filtre en sortie avec un filtre analogique passe-bas de façon à supprimer le bruit
de calcul (bruit de quantification).
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